중등 클리닉 — 고1 수학이 어려워지기 전에 확인할 다섯 가지

중3 겨울에 상담 오시는 분들의 질문은 거의 하나로 모입니다. "고1 과정을 어디까지 나가야 하나요?"

그런데 저희가 먼저 확인하는 것은 진도가 아니라 아래 다섯 가지입니다. 이게 되어 있으면 진도는 알아서 빨라지고, 안 되어 있으면 진도를 나가도 남지 않습니다.

1. 식을 자유롭게 변형할 수 있는가

인수분해와 전개를 공식으로만 외운 학생은 중3까지 버팁니다. 문제에 나오는 형태가 정해져 있으니까요.

확인 방법은 간단합니다. x² + 5x + 6을 인수분해하라고 하면 대부분 합니다. 그런데 2x² + 7x + 3처럼 최고차항 계수가 1이 아닌 경우, 혹은 x⁴ - 5x² + 4처럼 치환이 필요한 경우에서 손이 멈춘다면 아직 도구가 아니라 암기 상태입니다.

고1 이차함수와 이차방정식은 이 변형 능력을 전제로 진행됩니다. 여기서 막히면 개념이 아니라 속도가 먼저 무너집니다.

2. 함수를 그림이 아니라 관계로 보는가

일차함수와 이차함수의 그래프 모양은 대부분 기억합니다. 문제는 그다음입니다.

"y = f(x)의 그래프를 x축 방향으로 3만큼 평행이동하면 식이 어떻게 되는가"에서 f(x-3)이 아니라 f(x+3)이라고 답한다면, 그래프를 그림으로만 기억하고 있다는 신호입니다. 이 실수는 고등에서 삼각함수, 지수·로그함수까지 그대로 따라옵니다.

3. 도형 조건을 식으로 옮길 수 있는가

중등 기하는 보조선과 성질 위주로 풀립니다. 고등에서는 같은 도형 문제를 좌표와 식으로 옮겨서 처리해야 하는 경우가 많아집니다.

훈련 방법은 문제를 풀기 전에 그림에 주어진 조건을 전부 표시하는 습관입니다. 표시하고 나면 식으로 옮길 것이 저절로 보입니다. 이 습관이 없는 학생은 그림을 보며 한참 고민하다 시간을 씁니다.

4. 부등식의 조건을 끝까지 챙기는가

양변에 음수를 곱할 때 부등호 방향이 바뀐다는 것은 다들 압니다. 그런데 곱하는 값이 문자일 때, 즉 부호를 모를 때 경우를 나누는 처리에서 갈립니다.

분모가 0이 아니어야 한다는 조건, 근호 안이 음수가 아니어야 한다는 조건도 마찬가지입니다. 마지막에 확인하지 않아서 답이 하나 더 붙는 실수는 고등 내내 반복됩니다.

5. 자기 풀이를 설명할 수 있는가

가장 중요한 항목입니다. 답이 맞아도 왜 그렇게 풀었는지 설명하지 못하면, 비슷하지만 조건이 살짝 다른 문제에서 무너집니다.

집에서 확인하는 방법이 있습니다. 아이가 방금 푼 문제를 부모님에게 설명하게 해 보세요. 수학을 모르셔도 됩니다. 설명이 "이렇게 하면 돼요"에서 멈추는지, "이 조건 때문에 이렇게 해야 해요"까지 가는지만 들으시면 됩니다.

특목고·자사고를 준비한다면

심화 과정은 위 다섯 가지가 정리된 다음에 시작합니다. 순서를 바꾸면 어려운 문제를 풀이 암기로 넘기게 되고, 그 상태는 시험장에서 조건이 조금만 바뀌어도 무너집니다.

고교학점제와 내신 5등급제가 자리를 잡으면서 고교 선택의 기준도 예전과 달라지고 있습니다. 학교를 먼저 정하고 거기에 맞춰 준비하기보다, 아이의 현재 상태를 정확히 본 다음 선택지를 좁히는 순서를 권합니다.

중3 겨울, 현실적인 계획

겨울방학은 생각보다 짧습니다. 두 달 안에 위 다섯 가지 점검과 고1 1학기 과정을 모두 소화하려면 하루 분량이 과해집니다.

저희는 보통 앞의 3~4주를 점검과 보완에, 나머지를 고1 과정에 씁니다. 진도는 조금 덜 나가지만 3월 이후 속도가 다릅니다. 이 부분은 학생 상태에 따라 조정합니다.